¿Por qué tienen que existir las antipartículas?

Cuando Paul Dirac desarrolló la ecuación relativista para el electrón, dio el primer paso para la unificación entre la mecánica cuántica y la relatividad. En primera instancia el pensamiento de Dirac era que el espín (impulso angular intrínseco) suponía la clave y la consecuencia fundamental de la Mecánica Cuántica Relativista. Pero, al tiempo que se resolvió el enigma de la existencia de las energías negativas predichas por su ecuación, se entendió que la clave para celebrar las bodas entre la relatividad y la cuántica estaba en la existencia de las antipartículas.

Una vez que desarrolla esta idea, se puede aplicar el cálculo para cualquier spin, no sólo para el del electrón, como demostraron W. Pauli y V. F. Weisskopf y se puede demostrar por qué tiene que haber antipartículas si se quiere unificar la Mecánica Cuántica y la Relatividad.

A partir de esta línea del conocimiento se puede explicar otro de los grandes enigmas de la física: el Principio de Exclusión de Pauli. Este extraño principio afirma que si se toma la función de onda de un par de partículas de espín fraccionario y luego se las intercambia para obtener una nueva función de onda, hay que anteponer un signo negativo. 

Podría demostrarse de manera más o menos convincente que si no existiese la relatividad, las cosas en el universo permanecerían como fueron creadas, y el problema se remontaría a esa creación misma; y sólo Dios sabría cómo lo hizo. Sin embargo, con la existencia de las antipartículas la cosa cambia. Dado que se pueden crear pares (en inmediaciones de un núcleo masivo, para no violar la ley de conservación del momento lineal), como por ejemplo electrón y positrón. Pero aquí prevalece un enigma, o si se quiere llamar incluso misterio; y es por qué el nuevo electrón recién creado tiene que se antisimétrico respecto de los electrones preexistentes. Vale aclarar, ¿por qué el electrón que se crea conjuntamente con la otra partícula no puede estar en el mismo estado que uno de los electrones que ya estaban allí? De modo tal que la existencia de partículas y antipartículas permite preguntarnos el por qué se genera un signo negativo al momento de la creación de un par; o mejor dicho cuando ellos se aniquilan o se intercambian antes de la aniquilación.

Estas cuestiones han sido resueltas de manera bella y sencilla (en palabras de Richard Feynman) por el extraordinario físico Paul Dirac. Claro está que en esta resolución pululan gran cantidad de símbolos y operadores, los cuales hay que manejar e interpretar.

Antipartículas y relatividad

En la mecánica cuántica no relativista, ante la presencia de un perturbador U que actúa sobre una partícula que se halla en el estado inicial; dicho estado se modificará luego de actuar el perturbador. La amplitud terminará en un estado x, el cual estará dado por la proyección de x sobre el perturbador y la partícula:

La expresión 

es la elegante notación que usó Paul Dirac para escribir las antipartículas. Feynman en su conferencia “Las partículas elementales y las leyes de la Física” consideró esta expresión como verdadera y aplicable a la mecánica cuántica relativista.

Paul Dirac, Wolfgang Pauli y Rudolf Peierls

Si ahora se supone que hay dos perturbaciones en tiempos diferentes t1 y t2, sería interesante saber cuál es la amplitud para la segunda perturbación y restaurar la partícula a su estado inicial. Podemos llamar a la primera perturbación U1 y a la segunda U2. Para expresar estas perturbaciones a lo largo del tiempo se usa la Teoría de las Perturbaciones. Aunque la cosa más simple que puede ocurrir, explorando los extremos, es que la partícula fuese del estado inicial al estado inicial, con lo que la amplitud sería 

Este vendría a ser el término de orden principal el cual se corresponde con la perturbación U1, que pone al estado inicial de la partícula en un estado intermedio cuya función de onda se podría expresar como se ve más abajo, la cual duraría un tiempo delta t antes que la otra perturbación, U2 se convierta de vuelta en estado inicial de la partícula. Es decir, la partícula partiría del estado inicial, sería perturbada por la primera perturbación llevándola al estado intermedio hasta que la segunda perturbación, U2 la llevaría de vuelta al estado inicial:

Es de suponer que las perturbaciones que actúen individualmente sobre la partícula y la hagan ir de su estado inicial a su estado inicial, dan como resultado la nulidad. Si se usan ondas planas para los estados intermedios y se expanden las amplitudes, se nota que

Siendo

Sabiendo que 

para una partícula de masa m. Estos factores de Ep están dispuestos para que las propiedades relativistas sean más manifiestas, dado que 

Es una densidad invariable de impulso (cantidad de movimiento).

Se pueden citar casos especiales de las ecuaciones anteriores para luego ir a la generalidad. Por ejemplo, si la amplitud indirecta de la partícula va de dos estados estacionarios x con impulso y energía característico, se puede suponer que las energías de las partículas son positivas. Porque, si dichas energías fuesen negativas, se podrían resolver todos los problemas de energía arrojando partículas a este pozo de energía negativo y haciendo funcionar el Universo con la energía extra resultante.

Pero, si se evalúa la amplitud de cualquier a(x1) y b(x2), se encontraría que no podría ser nulo cuando x2 está fuera del cono de luz de x1. Esto es muy sorprendente (en palabras de Feynman). Si se inicia una serie de ondas desde un punto particular, no se pueden confinar dentro del cono de luz si todas las energías son positivas. Esto se puede demostrar a partir del siguiente teorema matemático:

Si una función se puede descomponer en series de Fourier, sólo en frecuencias positivas, es decir si permite su escritura como:

Entonces dicha función no puede ser nula en ningún alcance finito de t, al menos que sea cero en todos los intervalos. 

Para aplicar este teorema al caso que nos atañe, se fijan los dos x y se reescribe la integral de p en términos de la variable omega. De esa manera la integral se equipara con la anterior mencionada en el teorema, el cual se aplica de manera directa. Aquí se ve que la amplitud no puede ser cero para ningún intervalo finito de tiempo. En particular y sin perder generalidad, no puede ser cero fuera del cono de luz de x1. Para decirlo con otras palabras, puede haber una amplitud para que las partículas viajen a mayores velocidades que la luz y ninguna forma de superposición (con energías positivas) puede eludir este postulado.

Por lo tanto, si el tiempo 2 es posterior al tiempo 1, se tienen aportes a la amplitud dados por partículas que viajan a velocidades hiperlumínicas. Entonces, con una separación en distancia, el orden de ocurrencia de U1 y U2 dependen del sistema de referencia. Si se examina el evento desde un sistema de referencia inercial que se desplace a suficiente velocidad en relación con el sistema de referencia inicial, el tiempo 2 es anterior al tiempo 1.

¿Cómo se observa este proceso desde el nuevo sistema de referencia? 

Antes del tiempo t´2 se observa que una partícula viaja con rumbo incierto, pero al llegar el tiempo mencionado, el t´2 ocurre algo en apariencia misterioso: en el punto x2 (na distancia arbitraria respecto de la partícula original) la perturbación U2 crea un par de partículas, una de las cuales parece retroceder en el tiempo. En el tiempo t´1 la partícula original y la que aparentemente retrocede en el tiempo, desaparecen. De esta manera, los requerimientos de las energías positivas y la relatividad nos obligan a permitir la creación y aniquilación de pares, una de las cuales retrocede en el tiempo.

La interpretación física de una partícula que retrocede en el tiempo sería quizás fácil de interpretar si asociamos una carga a la partícula. ¿Qué significa esto? En otras palabras esto no es otra cosa que suponer que tiene que haber antipartículas. Es decir que los pares nunca podrán ser partícula-partícula sino partícula-antipartícula. De hecho, a partir de esta interdependencia respecto del sistema de referencia se puede afirmar que la partícula virtual de un objeto, como un protón, un electrón, un átomo o una persona, es la antipartícula virtual de otro objeto.

Si se quiere sintetizar la situación se pueden seguir los dos siguientes argumentos o formulaciones.

Primero, las antipartículas y la producción y aniquilación de pares deben existir

Segundo, la conducta de las antipartículas está determinada por la conducta de las partículas

Para terminar se puede mencionar que si se invirtiera el signo de las tres dimensiones espaciales y la temporal, una partícula que inicialmente estuviera avanzando en el tiempo se encontraría de repente retrocediendo. Si se define el operador P como de paridad, el cual cambia el signo de todas las dimensiones espaciales. El operador T, el cual cambia el signo de la dimensión temporal. Y el operador C que cambia la carga de todas las entidades cuánticas, luego de operar con un estado P y T es equivalente a operar en el estado con C, es decir PT=C.

Por Mariano Miguel, adaptado de la conferencia dada por R. P. Feynman y S. Weinberg en honor a Dirac en Cambridge, allá por el año 1984.