Soluciones de la ecuación de Schrödinger: Penetración de una barrera de potencial por efecto túnel
A continuación se demuestran las ecuaciones implicadas en el efecto túnel. Si por algún motivo no se observan las ecuaciones, puede copiar y pegar sobre un editor LaTex como el siguiente online:
Se puede determinar a partir de la ecuación de Schrödinger la probabilidad T de que una partícula atraviese una barrera de potencial. Esta probabilidad es proporcional al cuadrado de la relación de amplitudes de las funciones senoidales de onda, a los dos lados de la barrera. Estas amplitudes se determinan igualando las funciones de onda y sus derivadas en los puntos limítrofes, lo cual es un problema matemático bastante complicado. Cuando T es mucho menor que la unidad, T se determina de forma aproximada con la fórmula que sigue:
\[ T \approx 16\frac{E}
{V}\left( {1 - \frac{E}
{V}} \right)e^{ - 2a\frac{{\sqrt[{}]{{2m(V - E)}}}}
{\hbar }}
\]
Donde
E = Energía de la partícula
V = Potencial de la barrera
a = espesor de la barrera
Nos interesa estudiar el caso en que la partícula llega a la barrera desde la izquierda (región 1, x < 0) con una energía E < V. En ese caso la Mecánica Clásica predice que la partícula se refleja en x < 0 y no puede llegar a la región 3 (x < a). Se demostrará entonces que la Mecánica Cuántica predice en cambio que la partícula tiene cierta probabilidad T de atravesar la barrera.
Aclaremos que la ecuación de Schrödinger no es válida para partículas relativistas. Esto es así porque la ecuación de la mecánica clásica está implícita en su desarrollo y la energía para esta partícula es
\[
E = \frac{{p^2 }}
{{2m}} + V
\]
En 1928 Paul Dirac desarrolló una teoría relativista de la mecánica cuántica utilizando esencialmente los mismos postulados de la teoría de Schrödinger, excepto que la ecuación anterior la sustituyó por su análoga relativista
\[
E = \sqrt {c^2 p^2 + m_0 ^2 c^4 } + V
\]
Por supuesto que la teoría de Dirac se reduce a la de Schrödinger a bajas velocidades. Afortunadamente, la mayoría de los fenómenos cuánticos se pueden estudiar en casos que no son relativistas.
Para el caso que nos atañe, las soluciones generales de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en las tres regiones en que se divide el eje x son:
\[
V(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{0\,si\,x < 0} \\
{V\,si\,0 < x < a} \\
{0\,si\,a < x} \\
\end{array} } \right.
\]
Partimos de la ecuación de Schrödinger
\[
- \frac{{\hbar ^2 }}
{{2m}}\frac{{\partial ^2 \Psi (x;t)}}
{{\partial x^2 }} + V(x;t)\Psi (x;t) = i\hbar \frac{{\partial \Psi (x;t)}}
{{\partial t}}
\]
Y a partir de aquí se plantea la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
\[
- \frac{{\hbar ^2 }}
{{2m}}\frac{{\partial ^2 \Psi (x)}}
{{\partial x^2 }} + V(x)\Psi (x) = E\Psi (x)
\]
En la primera región, el potencial V es cero y se puede reacomodar haciendo
\[
\frac{{\partial ^2 \Psi (x)}}
{{\partial x^2 }} + \frac{{2mE}}
{{\hbar ^2 }}\Psi (x) = 0
\]
Esta es una ecuación diferencial de segundo orden homogénea con coeficientes constantes. Recordemos que las soluciones serán:
\[
\begin{gathered}
ay'' + by' + cy = 0 \\
y = C_1 e^{z_1 x} + C_2 e^{z_2 x} \\
z_{1;2} = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}
{{2a}} \\
\end{gathered}
\]
Aquí:
\[
\begin{gathered}
a = 1 \\
b = 0 \\
c = \frac{{2mE}}
{{\hbar ^2 }} \\
\end{gathered}
\]
Y la solución será
\[
\Psi _E^{(1)} (x) = Ae^{ikx} + Be^{ - ikx} \,,\,k = + \frac{{\sqrt {2mE} }}
{\hbar }
\]
En la segunda región el potencial V es distinto de cero y vale V.
\[
\frac{{\partial ^2 \Psi (x)}}
{{\partial x^2 }} - \frac{{2m(V - E)}}
{{\hbar ^2 }}\Psi (x) = 0
\]
Cuya solución ahora es:
\[
\Psi _E^{(2)} (x) = De^{\kappa x} + Ce^{ - \kappa x} \,,\,\kappa = + \frac{{\sqrt {2m(V - E)} }}
{\hbar }
\]
En la tercera región el potencial vuelve a ser cero:
\[
\Psi _E^{(3)} (x) = Ee^{ikx} + Fe^{ - ikx} \,,\,k = + \frac{{\sqrt {2mE} }}
{\hbar }
\]
A partir de aquí se aplican las condiciones frontera (también denominadas de contorno o empalme):
En matemáticas, en el campo de las ecuaciones diferenciales, un problema de valor de frontera se lo denomina al conjunto de una ecuación diferencial y a las condiciones de frontera. Una solución de un problema de condiciones de frontera es una solución de una ecuación diferencial que también satisface condiciones de frontera.
Un problema de condiciones de frontera aparece en muchos aspectos de la física, como en las ecuaciones diferenciales que explican ciertos problemas físicos. Problemas que involucran la ecuación de onda son comúnmente problemas de condiciones de frontera. Muchas clases de problemas de valores de frontera importantes son los problemas de Sturm-Liouville. El análisis de estos problemas involucra funciones propias y operadores diferenciales.
Muchos de los primeros problemas de valor de frontera han sido estudiados mediante los problemas de Dirichlet, o buscando una función armónica (solución de una ecuación de Laplace) cuya solución está dada por el principio de Dirichlet
Entonces, las condiciones de empalme en x = 0 son
\[
\left[ {\Psi _E^{(1)} (x)} \right]_{x = 0} = \left[ {\Psi _E^{(2)} (x)} \right]_{x = 0}
\]
\[
\left[ {\frac{d}
{{dx}}\Psi _E^{(1)} (x)} \right]_{x = 0} = \left[ {\frac{d}
{{dx}}\Psi _E^{(2)} (x)} \right]_{x = 0}
\]
\[
\begin{gathered}
A + B = D + C \\
A - B = - i\frac{\kappa }
{k}(D - C) \\
\end{gathered}
\]
Si resolvemos el sistema para A y B en términos de C y D resulta:
\[
\begin{gathered}
A = \frac{1}
{2}\left( {1 - i\frac{\kappa }
{k}} \right)D + \frac{1}
{2}\left( {1 + i\frac{\kappa }
{k}} \right)C \\
B = \frac{1}
{2}\left( {1 + i\frac{\kappa }
{k}} \right)D + \frac{1}
{2}\left( {1 - i\frac{\kappa }
{k}} \right)C \\
\end{gathered}
\]
Que se puede escribir en forma matricial
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
A \\
B \\
\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{M^0 _{11} } & {M^0 _{12} } \\
{M^0 _{21} } & {M^0 _{22} } \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
D \\
C \\
\end{array} } \right)
\]
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
A \\
B \\
\end{array} } \right) = \frac{1}
{2}\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\left( {1 - i\frac{\kappa }
{k}} \right)} & {\left( {1 + i\frac{\kappa }
{k}} \right)} \\
{\left( {1 + i\frac{\kappa }
{k}} \right)} & {\left( {1 - i\frac{\kappa }
{k}} \right)} \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
D \\
C \\
\end{array} } \right)
\]
Las condiciones de empalme en x=a son
\[
\left[ {\Psi _E^{(1)} (x)} \right]_{x = a} = \left[ {\Psi _E^{(2)} (x)} \right]_{x = a}
\]
\[
\left[ {\frac{d}
{{dx}}\Psi _E^{(1)} (x)} \right]_{x = a} = \left[ {\frac{d}
{{dx}}\Psi _E^{(2)} (x)} \right]_{x = a}
\]
Y nos dan:
\[
De^{\kappa a} + Ce^{ - \kappa a} = Fe^{ika} + Ge^{ - ika}
\]
\[
De^{\kappa a} - Ce^{ - \kappa a} = i\frac{k}
{\kappa }\left( {Fe^{ika} - Ge^{ - ika} } \right)
\]
Si resolvemos el sistema para D y C en términos de F y G
\[
\begin{gathered}
D = \frac{{e^{ - \kappa a + ika} }}
{2}\left( {1 + i\frac{k}
{\kappa }} \right)F + \frac{{e^{ - \kappa a - ika} }}
{2}\left( {1 - i\frac{k}
{\kappa }} \right)G \\
C = \frac{{e^{\kappa a + ika} }}
{2}\left( {1 - i\frac{k}
{\kappa }} \right)F + \frac{{e^{\kappa a - ika} }}
{2}\left( {1 + i\frac{k}
{\kappa }} \right)G \\
\end{gathered}
\]
Que escribimos en forma matricial
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
D \\
C \\
\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{M^a _{11} } & {M^a _{12} } \\
{M^a _{21} } & {M^a _{22} } \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
F \\
G \\
\end{array} } \right)
\]
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
D \\
C \\
\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{e^{ - \kappa a + ika} }}
{2}\left( {1 + i\frac{k}
{\kappa }} \right)} & {\frac{{e^{ - \kappa a - ika} }}
{2}\left( {1 - i\frac{k}
{\kappa }} \right)} \\
{\frac{{e^{\kappa a + ika} }}
{2}\left( {1 - i\frac{k}
{\kappa }} \right)} & {\frac{{e^{\kappa a - ika} }}
{2}\left( {1 + i\frac{k}
{\kappa }} \right)} \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
F \\
G \\
\end{array} } \right)
\]
Juntando ambas formas matriciales
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
A \\
B \\
\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{M_{AF} } & {M_{AG} } \\
{M_{BF} } & {M_{BG} } \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
F \\
G \\
\end{array} } \right)
\]
Donde
\[
\begin{gathered}
M_{AF} = M^0 _{11} M^a _{11} + M^0 _{12} M^a _{21} \\
M_{AG} = M^0 _{11} M^a _{12} + M^0 _{12} M^a _{22} \\
M_{BF} = M^0 _{21} M^a _{11} + M^0 _{22} M^a _{21} \\
M_{BG} = M^0 _{21} M^a _{12} + M^0 _{22} M^a _{22} \\
\end{gathered}
\]
La ecuación matricial anterior vincula las amplitudes de las ondas a izquierda y derecha de la barrera, y por lo tanto permite resolver cualquier problema de reflexión y transmisión que se desee.
Para el caso nuestro, donde E<V, nos interesa estudiar la transmisión de una partícula que llega a la barrera desde la izquierda. Por lo tanto pondremos G = 0 entonces resulta
\[
\begin{gathered}
A = M_{AF} F + M_{AG} G \\
B = M_{BF} F + M_{BG} G \\
A = M_{AF} F \\
B = M_{BF} F \\
\end{gathered}
\]
Nos interesa particularmente el caso
\[
A = M_{AF} F
\]
Y sabiendo que
\[
M_{AF} = M^0 _{11} M^a _{11} + M^0 _{12} M^a _{21}
\]
\[
M_{AF} = \frac{1}
{2}\left( {1 - i\frac{\kappa }
{k}} \right)\frac{{e^{ - \kappa a + ika} }}
{2}\left( {1 + i\frac{k}
{\kappa }} \right) + \frac{1}
{2}\left( {1 + i\frac{\kappa }
{k}} \right)\frac{{e^{\kappa a + ika} }}
{2}\left( {1 - i\frac{k}
{\kappa }} \right)
\]
\[
M_{AF} = e^{ika} \left( {\frac{1}
{2}\left( {2 + i\frac{k}
{\kappa } - i\frac{\kappa }
{k}} \right)\frac{{e^{ - \kappa a} }}
{2} + \frac{1}
{2}\left( {2 - i\frac{k}
{\kappa } + i\frac{\kappa }
{k}} \right)\frac{{e^{\kappa a} }}
{2}} \right)
\]
\[
M_{AF} = e^{ika} \left( {\frac{{e^{ - \kappa a} }}
{2} - \frac{i}
{2}\left( {\frac{\kappa }
{k} - \frac{k}
{\kappa }} \right)\frac{{e^{ - \kappa a} }}
{2} + \frac{{e^{\kappa a} }}
{2} + \frac{i}
{2}\left( {\frac{\kappa }
{k} - \frac{k}
{\kappa }} \right)\frac{{e^{\kappa a} }}
{2}} \right)
\]
\[
M_{AF} = e^{ika} \left( {\frac{{e^{\kappa a} + e^{ - \kappa a} }}
{2} + \frac{i}
{2}\left( {\frac{\kappa }
{k} - \frac{k}
{\kappa }} \right)\frac{{e^{\kappa a} - e^{ - \kappa a} }}
{2}} \right)
\]
\[
M_{AF} = e^{ika} \left( {\cosh \left( {\kappa a} \right) + \frac{i}
{2}\left( {\frac{\kappa }
{k} - \frac{k}
{\kappa }} \right){\text{senh}}\left( {\kappa a} \right)} \right)
\]
Hacemos el cociente
\[
\frac{F}
{A} = \frac{1}
{{M_{AF} }} = \frac{{e^{ - ika} }}
{{\cosh \left( {\kappa a} \right) + \frac{i}
{2}\left( {\frac{\kappa }
{k} - \frac{k}
{\kappa }} \right){\text{senh}}\left( {\kappa a} \right)}}
\]
El coeficiente de transmisión de la barrera es:
\[
T = \left| {\frac{F}
{A}} \right|^2 = \frac{1}
{{\left| {M_{AF} } \right|^2 }}
\]
Es decir, el módulo de los números complejos elevado al cuadrado
\[
\begin{gathered}
T = \frac{{\left( {\sqrt {\cos ^2 (ka) + {\text{sen}}^2 (ka)} } \right)^2 }}
{{\left( {\sqrt {\cosh ^2 \left( {\kappa a} \right) + \frac{1}
{4}\left( {\frac{\kappa }
{k} - \frac{k}
{\kappa }} \right)^2 {\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)} } \right)^2 }} \\
T = \frac{1}
{{\cosh ^2 \left( {\kappa a} \right) + \frac{1}
{4}\left( {\frac{\kappa }
{k} - \frac{k}
{\kappa }} \right)^2 {\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}\\
\end{gathered}
\]
\[
T = \frac{1}
{{\cosh ^2 \left( {\kappa a} \right) + \frac{1}
{4}\left( {\frac{{\kappa ^2 - k^2 }}
{{k\kappa }}} \right)^2 {\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}
\]
\[
T = \frac{1}
{{\cosh ^2 \left( {\kappa a} \right) + \frac{1}
{4}\frac{{\left( {V - 2E} \right)^2 }}
{{E(V - E)}}{\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}
\]
\[
T = \frac{1}
{{\cosh ^2 \left( {\kappa a} \right) + \frac{{V^2 {\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right) - 4E(V - E){\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}
{{4E(V - E)}}}}
\]
\[
T = \frac{1}
{{\frac{{4E(V - E)\cosh ^2 \left( {\kappa a} \right) + V^2 {\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right) - 4E(V - E){\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}
{{4E(V - E)}}}}
\]
\[
T = \frac{1}
{{\frac{{4E(V - E)\left( {\cosh ^2 \left( {\kappa a} \right) - {\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)} \right) + V^2 {\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}
{{4E(V - E)}}}}
\]
\[
\begin{gathered}
T = \frac{1}
{{\frac{{4E(V - E) + V^2 {\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}
{{4E(V - E)}}}} \\
T = \frac{1}
{{1 + \frac{{V^2 {\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}
{{4E(V - E)}}}}\\
T = \frac{1}
{{1 + \frac{{{\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}
{{\frac{{4E(V - E)}}
{{V^2 }}}}}} \\
\end{gathered}
\]
\[
T = \frac{1}
{{1 + \frac{{{\text{senh}}^2 \left( {\kappa a} \right)}}
{{4\frac{E}
{V}\left( {1 - \frac{E}
{V}} \right)}}}}
\]
Si la barrera es alta (o sea E/V no es muy próximo a 1) y ancha
\[
\kappa a \gg 1
\]
de modo que transmita poco, entonces
\[
{\text{senh}}(\kappa a) \approx \frac{{e^{\kappa a} }}
{2}
\]
De modo que la expresión se va a reducir bastante
\[
T = \frac{1}
{{1 + \frac{{e^{2\kappa a} }}
{{16\frac{E}
{V}\left( {1 - \frac{E}
{V}} \right)}}}}
\]
Pues también se hará
\[
16\frac{E}
{V}\left( {1 - \frac{E}
{V}} \right) + e^{2\kappa a} \approx e^{2\kappa a}
\]
\[
T \approx \frac{{16\frac{E}
{V}\left( {1 - \frac{E}
{V}} \right)}}
{{16\frac{E}
{V}\left( {1 - \frac{E}
{V}} \right) + e^{2\kappa a} }}
\]
\[
T \approx \frac{{16\frac{E}
{V}\left( {1 - \frac{E}
{V}} \right)}}
{{e^{2\kappa a} }}
\]
y la expresión de T toma una forma sencilla:
\[
\boxed{T \approx 16e^{ - 2\kappa a} \frac{E}
{V}\left( {1 - \frac{E}
{V}} \right)}
\]
Que es lo que se quería demostrar.
La penetración de la barrera se suele denominar efecto túnel y es una manifestación del carácter ondulatorio de la partícula. El mismo fenómeno aparece para cualquier tipo de ondas. En Óptica se lo conoce con el nombre de “reflexión interna total frustrada”.
El efecto túnel permite explicar una paradoja que se presenta en la emisión de partículas a por núcleos radioactivos. Como ejemplo, consideremos el elemento U-238. Mediante la dispersión por el núcleo del U-238 de partículas a de 8.8 MeV emitidas por el Po-212 se determinó la energía potencial V(r) de la partícula a y se encontró que coincide con la que proviene de la ley de Coulomb, por lo menos hasta la distancia de 3x10–12 cm que es hasta dónde puede llegar una partícula a de 8.8 MeV. Por otra parte los experimentos de dispersión de partículas a por núcleos livianos muestran que
V(r) se desvía del comportamiento 1/ r cuando r < R (R es el radio del núcleo), porque a distancias menores actúan las fuerzas nucleares que son atractivas. Cuando se desarrolló la Mecánica Cuántica no se conocía todavía el valor preciso de R para los núcleos pesados, pero era obvio que para el U-238 debía ser seguramente menor que 3x10–12 cm. Ahora bien, el núcleo del U-238 emite ocasionalmente partículas a.
Se supuso entonces que dichas partículas están presentes dentro del núcleo, al cual están ligadas por el potencial V(r). A partir de estos argumentos se concluyó que la forma de V(r) es la que se indica cualitativamente en la figura se muestra la emisión de partículas alfa por un núcleo de U-238.
Por otra parte la energía cinética de las partículas a emitidas por el U-238 es de 4.2 MeV (medida muy lejos del núcleo, donde V(r) = 0). Por lo tanto se presenta una situación paradojal, pues clásicamente es inexplicable que una partícula a se emita con una energía menor que la que corresponde al tope de la barrera.
La paradoja fue resuelta en 1928 por George Gamow, Edward Condon y Ronald P. Gurney en términos del efecto túnel de la Mecánica Cuántica. Para la energía potencial de la figura no se puede aplicar la expresión deducida para el efecto túnel del coeficiente de transmisión, pero se puede demostrar que
\[
\begin{gathered}
T = e^{ - 2\int_a^b {\kappa (r)dr} }\\
\kappa (r) = \frac{{ + \sqrt {2m(V(r) - E)} }}
{\hbar }\\
\end{gathered}
\]
donde a y b son los puntos de retorno clásicos. La probabilidad que una partícula aque llega a la barrera y la atraviese es igual a T. Por unidad de tiempo, la partícula aque va y viene dentro del núcleo, choca con la barrera N veces.
\[
N \approx \frac{\nu }
{{2R}}
\]
Por lo tanto la probabilidad de emisión por unidad de tiempo es
\[
\lambda = \frac{{\nu T}}
{{2R}}
\]
Tomando
\[
\begin{gathered}
\nu = \sqrt {\frac{{2E}}
{m}} \\
R \approx 9x10^{ - 13} \,cm \\
\end{gathered}
\]
(valor que infirieron del análisis de Rutherford de la dispersión de partículas a por núcleos livianos) Gamow, Condon y Gurney obtuvieron valores de l que concuerdan razonablemente con los que se infieren a partir de los tiempos característicos del decaimiento radioactivo, pese a que para diferentes elementos hay enormes variaciones de frecuencia (por ejemplo frecuencia =5x10-18 s-1 para el U-238 y frecuencia =5x106 s-1 para el Po-212), que se deben a que la frecuencia depende muy fuertemente de E (la forma y la altura de la barrera son aproximadamente las mismas para todos los emisores a).
Corresponde mencionar aquí que Johannes W. Geiger y John M. Nuttall propusieron en 1912 una ley empírica de la forma
\[
\log \lambda = ab\log E
\]
para relacionar la probabilidad de emisión l con la energía E de las partículas a emitidas por diferentes sustancias radioactivas. Dicha ley reproduce razonablemente bien los datos medidos, pero el valor de la constante b implica que l depende de una potencia de E extraordinariamente alta, alrededor de 90. En esos tiempos, los fundamentos teóricos de la Ley de Geiger-Nuttall eran, por supuesto, desconocidos.
Por estos motivos, la aplicación exitosa de la Mecánica Cuántica a la emisión de partículas alfa constituyó uno de los apoyos más sólidos a la nueva teoría, además de ilustrar muy claramente la dualidad onda-partícula.
Fuente: Introducción a la mecánica cuántica de Julio Gratton
Física cuántica de Eisberg-Resnick
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